【证明】
证明：φ'(t)=lim(Δt→0)Δx/Δt≠0推出
Δx=O(Δt)，【同阶无穷小】
dy/dx
=lim(Δx→0)Δy/Δx
=lim(Δx→0)(Δy/Δt)/(Δx/Δt)
=lim(Δt→0)(Δy/Δt)/(Δx/Δt)
=lim(Δt→0)(Δy/Δt)/lim(Δt→0)(Δx/Δt)
=(dy/dt)/(dx/dt)
=ψ'(t)/φ'(t)
【例1】
{x=arctant，y=ln(1+t²)}，求dy/dx，d²y/dx²？
解：dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)
=[2t/(1+t²)]/[1/(1+t²)]
=2t
【问】d²y/dx²=2？
【答】❌叉错
【求导数是有对象的，是谁对谁求导】
【从dy/dx到d²y/dx²，就是从一阶导到二阶导，它是对谁求导？它是对x求导！你算的2是对t，天真！没按要求。】
【所以应该怎样做？】
【d²y/dx²=d(dy/dx)/dx】
dy/dx=2t
那这里就是：
d²y/dx²
=d(dy/dx)/dx
=d(2t)/dx【一个是dt一个是dx，叭好】
=[(d/dt)(2t)]/[dx/dt]【同时比一个dt这个问题解决了】
=2/[1/(1+t²)]
=2(1+t²).
【例2】
{x=a(t-sint)，y=a(1-cost)}确定y=y(x)，
求d²y/dx²？
解：dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)
=asint/a(1-cost)
=sint/(1-cost)
d²y/dx²=d(dy/dx)/dx
=d[sint/(1-cost)]/dx
={d[sint/(1-cost)]/dt}/{dx/dt}
=[1/a(1-cost)]{[cost·(1-cost)-sin²t]/(1-cost)²}
=整理略
不略不略来看一下整理
=[cost·(1-cost)-sin²t]/a(1-cost)³
=(cost-1)/a(1-cost)³
=-1/a(1-cost)²
嗯，看起来好看多了。
好了2.4节就到这里了。这一节是隐函数及有参数方程确定的函数求导，主要是两个东西的求导，一个是隐函数，一个是参数方程。
隐函数的求导把y看成φ(x)就行了，注意链式法则，以及有的显函数也可以隐式化求导，方法整体就是两边对x求导。
参数方程的话，主要是定理，y对dt求导除以x对dt求导，高阶导数【二阶及以上】的求导按照规则来，对x求导，我们记得各自加dt就行了。
不说了，我妈回来了，我吃晚饭了。
下一节是第二章导数与微分最后一节2.5微分。吃完饭再看。
……
晚餐惯例剩菜。我妈抱怨了一句天气好烦人哦。
……
听老师讲课，和自己看教材的确是不一样。老师的一句话可能就能启发我，而我自己想得很久。而且视频声音给的信息自然更丰富，属于富信息输入，只需要简单筛选吸收就行，而教材则是精华信息输入，需要信息扩充才能理解。
看下2.5直接结束第二章吧高数拖了十几天了还没结束前两章太拖沓了，主要是前几天我一直在玩游戏。真的垃圾。最近才渐渐体会到星之守护者一定要做好人的快感。但是我玩金克丝时队友是真的傻逼。举报九个人。
好的来看2.5微分。
一、例子
1.y=x²，x0=2，x0=2→x=2+Δx，求Δy
解：Δy=y(2+Δx)-y(2)
=(2+Δx)²-2²
=4Δx+(Δx)²
∵(Δx)²=o(Δx)【高阶无穷小，次要】
∴Δy=4Δx+o(Δx)
前面部分是主要的，后面是次要的
2.V=4πr³/3，r0=2，r=2+Δr，ΔV？
解：ΔV=V(2+Δr)-V(2)
=4π/3(2+Δr)³-(4π/3)r³
=4π/3[12Δr+6(Δr)²+(Δr)³]
=16πΔr+8π(Δr)²+(4π/3)(Δr)³
∵8π(Δr)²+(4π/3)(Δr)³=o(Δr)
∴ΔV=16πΔr+o(Δr)
define微分
y=f(x)，x∈D，x0∈D，x0+Δx∈D，
Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
if=AΔx+o(Δx)
则y=f(x)在x=x0处可微，称AΔx为y=f(x)在x=x0处的微分，记dy|【右下角x=x0】.
即dy|【右下角x=x0】=AΔx习惯写成Adx.
……
【目前可以公布的情报】
目前我们在一个点有哪些概念？
开始是，极限！极限是什么？左右极限存在且相等那就有极限。
紧接着产生一个概念，叫连续！什么是连续？极限值如果等于函数值，那就连续！所以一个点连续有三个等，哪三个？左极限、右极限、函数值。
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