后来又有可导，什么叫函数在一个点可导？就是Δy/Δx，当Δx→0时有极限就叫可导，没有极限叫不可导。可导一定连续，连续不一定可导。【比如尖尖的地方就不可导，而要光滑才能可导。】
现在又有可微概念。那什么是可微？就是如果一个函数它的增量Δy可以表示成一个常数乘以Δx的一次方，再加上Δx的高阶无穷小，可以表示成这样，就称为可微！其中前面的主要部分AΔx【通常写为Adx】就称为函数在这个点的微分！
……
【注解】
①可导等价于可微
一个一元函数在一个点可导和可微强度是一样的，可导就可微，可微就可导。
证明：
证：充分性：
设lim(Δx→0)Δy/Δx=f'(x0).
【Δy/Δx是一个函数，它的自变量是Δx，它以f'(x0)为极限】
【无穷小有一个知识点limf=A等价于f=A+α，α→0】
Δy/Δx=f'(x0)+α，其中α→0（Δx→0）.
得：
Δy=f'(x0)Δx+αΔx.
∵lim(Δx→0)αΔx/Δx=0，
∴αΔx=o(x)，
∴Δy=f'(x0)Δx+o(Δx).
即y=f(x)在x=x0可微。
证：必要性：
设Δy=AΔx+o(Δx)
Δy/Δx=A+o(Δx)/Δx，
lim(Δx→0)Δy/Δx=A，即f'(x0)=A，
∴即y=f(x)在x=x0可导，且A=f'(x0).
②y=f(x)，x=x0，if Δy=AΔx+o(Δx)，
则A=f'(x0).
③y=f(x)，x=x0，if Δy=AΔx+o(Δx)，
则dy|【右下角x=x0】=f'(x0)dx.
若y=f(x)可导，
则dy=df(x)=f'(x)dx.
【df(x)=f'(x)dx表示如果一个函数在d的后面，想把它拿前面就要求导】
【比如d(x³)=3x²dx】
【再如d(e^3x)=3e^(3x)dx】
【x²dx=d(1/3x³+C)】
【1/(1+x²)dx=d(arctanx+C)】
【例1】y=ln(1+x²)，求x=3时dy？
解：y'=2x/(1+x²)
y'(x=3)=3/5
∴dy(x=3)=y'(3)dx=(3/5)dx
【例2】y=sin²(3x+2)，求dy
解：y'=6sin(3x+2)·cos(3x+2)
=3sin(6x+4).
【二倍角公式sin2α=2sinαcosα】
∴dy=y'dx=3sin(6x+4)dx
【注解】
①若y=f(x)在x=x0可微，
Δy=f'(x0)Δx+o(Δx)，
dy(x=x0)=f'(x0)Δx，
则Δy-dy=o(Δx).
②若y=f(x)在x=x0可微，
【几何意义】
【索引标识符】二、微分工具
㈠公式
1.d(C)=0；
2.d(x^a)=ax^(a-1)dx
3.d(a^x)=(a^x)lnadx
d(e^x)=e^xdx
4.d(loga^x)=1/[xlna]dx
d(lnx)=1/xdx
5.①d(sinx)=cosxdx
②d(cosx)=-sinxdx
③d(tanx)=sec²xdx
④d(cotx)=-csc²xdx
⑤d(secx)=secx·tanxdx
⑥d(cscx)=-cscx·cotxdx.
6.①d(arcsinx)=1/[1-x²]^½dx（-1＜x＜1）
②d(arccosx)=-1/[1-x²]^½dx（-1＜x＜1）
③d(arctanx)=1/[1+x²]dx（-∞＜x＜+∞）
④d(arccotx)=-1/[1+x²]dx（-∞＜x＜+∞）
㈡四则运算微分法则
也与求导类似
㈢复合
y=f(u)【可导】
case1：u为自变量
dy=f'(u)du；
case2：u=φ(x)，y=f[φ(x)]，
dy/dx=f'[φ(x)]φ'(x)，
dy=f'[φ(x)]φ'(x)dx
=f'[φ(x)]d[φ(x)]
=f'(u)du.【一阶微分形式不变性】
【例1】y=sin(3x+2)，求dy
解：法一：y'=3cos(3x+2)
dy=3cos(3x+2)dx
法二：令(3x+2)=u，y=sinu
dy=f'(u)du=cosudu
=cos(3x+2)d(3x+2)
=3cos(3x+2)dx
【例2】y=e^x²，求dy
解：法一：y'=2xe^x²，
dy=2xe^x²dx
法二：令x²=u，y=e^u，
dy=f'(u)du=e^udu=e^x²d(x²)=2xe^x².
三、近似计算
设y=f(x)在x=x0可微，
Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=f'(x0)Δx+o(Δx)
推出Δy≈f'(x0)Δx
推出f(x0+Δx)≈f(x0)+f'(x0)Δx.
或f(x)-f(x0)≈f'(x0)(x-x0)
推出f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x-x0)
【例1】求sin30°30′近似值
解：f(x)=sinx，x0=π/6，Δx=30′=π/360.
f'(x)=cosx.
f(x0)=1/2，f'(x0)=(3^½)/2，
∵f(x0+Δx)≈f(x0)+f'(x0)Δx
∴sin30°30′=f(π/6+π/360)≈f(π/6)+f'(π/6)π/360
=1/2+[(3^½)/2]×π/360
【例2】略
……
x→0，f(x)=f(0+x)≈f(0)+f'(0)x
①(1+x)^1/n≈1+x/n
②e^x≈1+x
③ln(1+x)≈x
好第二章导数与微分，结束了。第三章是精华，很厉害，明天再开始。9个视频，7节。和第一章一样是个大章，希望两天看完吧。现在去背单词，今天单词到现在还没背。一直在看导数与微分的后半部分。那估计第三章得看三四天了，两天估计看不完。
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