2020年8月14日，周五。
今天的梦还不错，进入的轮回世界是一个轻小说或者有二次元风的世界，我作为主角的朋友看主角跟几个女孩子的互动。女孩子没看多少，我和主角倒是互动不少。我对主角和女生的互动心里跟明镜似的，不过没打扰，为什么我当男二这么尽责？主要主角也不让我接触女生们。还有就是主角跟我互动老是像个娘们儿一样各种玩闹打我。最后的情节是我们丢瓶子扔进楼下的垃圾桶，我没扔进去但相差无几，主角则偏太远了，扔的太近了，我就嘲笑主角力气小。然后醒了。
所以回过神来主角其实是女主？是女的？淦。我他喵完全像个傻子一样把她当兄弟，只是挺帅气的兄弟。那……
要是还有机会通过梦境进入这个轮回世界一定要和她好好互动互动。打我好多下我都记着的。不过为什么住在一起我啥也没发现呢？大概就是因为片段吧。
……
午餐青椒肉丝、麻辣鱼块、空心菜。
……
我日常受群里马涛压迫。
……
好，来看高数第三章微分中值定理与导数的应用。
第二章研究了导数、微分。
从第三章题目可以看出有两个内容，一个是微分中值定理，一个是导数的应用。这些大章就喜欢两个东西搞成一个题目，这个有点意思。
来看第一节：
3.1 微分中值定理
首先来看【引导】。
1.极值点。
……
嘟嘟嘟
去心邻域。极小点、极小值。极大点，极大值。
……
2.函数在一个点的导数有哪些情况？
＞0，＜0，＝0，不存在。
四种情况。
如果f'(a)＞0，又有极限保号性，在去心邻域也＞0。通过左右邻域分析可以发现
lim(x→a){[f(x)-f(a)]/(x-a)}＞0.
{f(x)＜f(a)，x∈（a-δ）}
{f(x)＞f(a)，x∈（a+δ）}
f'(a)＞0推出左小右大。（x=a不是极值点）
同理
f'(a)＜0推出左大右小。（x=a不是极值点）
【结论】
①f(x)在x=a取极值，推出，f'(a)=0或f'(a)不存在.反之不对。
②f(x)在x=a取极值且可导，推出，f'(a)=0.反之不对。
【反例1】y=x³，y'=3x²，y'(0)=0.
但x=0不是y=x³的极值点。（左低右高）
【反例2】y=f(x)={x，（x小于0）；2x，（x≥0）}
f'₋(0)=lim(x→0⁻){[f(x)-f(0)]/(x-0)}=1，
f'₊(0)=lim(x→0⁺){[f(x)-f(0)]/(x-0)}=2，
∵f'₋(0)≠f'₊(0)，
∴f'(0)不存在，但x=0不是极值点。
【开始正式动手】
【引】【连续和可导的区别】
……
尖尖交不可导，可导是光滑的。
……
一、Rolle中值定理【罗尔定理】
Th1，若
①f(x)∈C[a，b]，
②f(x)在(a，b)内可导，
③f(a)=f(b).
则至少∃一点ξ∈(a，b)，使f'(ξ)=0.
【罗尔定理】
【条件】【闭区间连续】【开区间可导】【左右两个端点函数值相等】
【结论】【则开区间至少一个点的导数为0】
【注意】【开闭区间一定不能含糊，零点定理开区间，介值定理闭区间，罗尔定理开区间】
【几何意义】【在区间里面至少有一点切线水平】
【罗尔定理】【证明】
f(x)C[a，b]，推出，f(x)在[a，b]上取到最小值m和最大值M，
①m=M，
则f(x)≡C₀.
∀ξ∈(a，b)，有f'(ξ)=0；
②m＜M，
∵f(a)=f(b)，
∴if f(a)=m，则f(b)=m，
推出M在(a，b)内取到；
if f(a)=M，则f(b)=M，
推出m在(a，b)内取到；
∴m，M至少一个在在(a，b)内取到；
【这里条件是m与M是不同的值，而左右端点是同一个值，所以m，M至少有一个在中间取到】
不妨设∃ξ∈(a，b)，使f(ξ)=m，
推出f'(ξ)=0或f'(ξ)不存在，
∵f(x)在(a，b)内可导，
∴f'(ξ)=0
【应用】
【例1】f(x)∈C[0，2]，(0，2)内可导，f(0)=-1，f(1)=2，f(2)=-2.求证∃ξ∈(0，2)，使f'(ξ)=0.
证明：∵f(0)f(1)＜0，【零点定理】
∴∃C₁∈(0，1)，使f(C₁)=0；
又∵f(1)f(2)＜0，
∴∃C₂∈(1，2)，使f(C₂)=0；
∵f(x)∈C[C₁，C₂]，f(x)在(C₁，C₂)内可导，
又∵f(C₁)=f(C₂)=0，
∴∃ξ∈(C₁，C₂)⊂(0，2)，使f'(ξ)=0.
【例2】f(x)∈C[0，2]，(0，2)内可导，f(0)=1，f(1)+2f(2)=3.求证∃ξ∈(0，2)，使f'(ξ)=0.
证明：
1º，∵f(x)∈C[1，2]，
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